(1+x)/x*(1+x*e^x)的不定积分

Question

(1+x)/x*(1+x*e^x)的不定积分

Answer 1

∫ (1 + x)/[x(1 + xe^x)] dx
= ∫ [(1 + x) + xe^x(1 + x) - xe^x(1 + x)]/[x(1 + xe^x)] dx
= ∫ [(1 + x)(1 + xe^x) - x(e^x + xe^x)]/[x(1 + xe^x)] dx
= ∫ (1 + x)/x dx - ∫ (e^x + xe^x)/(1 + xe^x) dx
= ∫ dx + ∫ 1/x dx - ∫ 1/(1 + xe^x) d(xe^x)
= ∫ dx + ∫ 1/x dx - ∫ d(1 + xe^x)/(1 + xe^x)
= x + ln|x| - ln|1 + xe^x| + C
= x + ln|x/(1 + xe^x)| + C