（2014•淮安模拟）某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且△EFG中

Question

（2014•淮安模拟）某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且△EFG中，∠EGF=90°，经测量得到AE=10m，EF=20m．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G作一直线交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN=x（m）
（1）将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；
（2）当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

（1）作GH⊥EF，垂足为H，
因为DN=x，所以NH=40-x，NA=60-x，
因为(NH)/(HG)＝(NA)/(AM)，
所以(40−x)/(10)＝(60−x)/(AM)，所以AM＝(600−10x)/(40−x)…（2分）
过M作MT∥BC交CD于T，
则S_MBCDW=S_MBCT+S_MTDN=(40−AM)×60+(1)/(2)(x+60)×AM，
所以y＝(40−(600−10x)/(40−x))×60+(1)/(2)×((x+60)(600−10x))/(40−x)=2400−(5(60−x)2)/(40−x)…（7分）
由于N与F重合时，AM=AF=30适合条件，故x∈（0，30]，…（8分）
（2）y＝2400−(5(60−x)2)/(40−x)＝2400−5[(40−x)+(400)/(40−x)+40]，…（10分）
所以当且仅当40−x＝(400)/(40−x)，即x=20∈（0，30]时，y取得最大值2000，…（13分）
所以当DN=20m时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2000m²．…（14分）