如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．（Ⅰ）当BE=1，是否在折叠后的AD上存在一点P，且AP=λPD，使

Question

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．

（Ⅰ）当BE=1，是否在折叠后的AD上存在一点P，且

AP

=λ

PD

，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．

Answer 1

（Ⅰ） 若存在P，使得CP∥平面ABEF，此时λ=(3)/(2)：
证明：当λ=(3)/(2)，此时

AP

＝(3)/(2)

PD

，可得(AP)/(AD)＝(3)/(5)，
过P作MP∥FD，与AF交M，
则(MP)/(FD)＝(3)/(5)，
又PD=5，故MP=3，
∵EC=3，MP∥FD∥EC，
∴MP∥EC，且MP=EC，故四边形MPCE为平行四边形，
∴PC∥ME，
∵CP⊄平面ABEF，ME⊂平面ABEF，
故答案为：CP∥平面ABEF成立．
（Ⅱ）∵平面ABEF⊥平面EFDC，ABEF∩平面EFDC=EF，AF⊥EF，
∴AF⊥平面EFDC，
∵BE=x，∴AF=x，（0＜x＜4），FD=6-x，
故三棱锥A-CDF的体积V=(1)/(3)×(1)/(2)×2×(6−x)x=(1)/(3)[−(x−3)2+9]=−(1)/(3)(x−3)2+3，
∴x=3时，三棱锥A-CDF的体积V有最大值，最大值为3．