如图，在正方形ABCD中，E是AB上的任意一点，F是边BC延长线上的一点，EF交边CD于点G，AE=CF．（1）求证：点D在线段EF的垂直平分线上；（2）如果EF交正方形的对角线BD于点P，BP=BE，求证：EP=FG

Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB上的任意一点，F是边BC延长线上的一点，EF交边CD于点G，AE=CF．
（1）求证：点D在线段EF的垂直平分线上；
（2）如果EF交正方形的对角线BD于点P，BP=BE，求证：EP=FG．

Answer 1

证明：（1）连接ED和DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠DCF=90°，
在△AED和△DCF中，

AD＝CD

∠A＝∠DCF＝90°

AE＝CF

，
∴△AED≌△DCF（SAS），
∴ED=DF，
∴△EDF为直角三角形，D为其顶点，EF为底边
∴点D在线段EF的垂直平分线上；

（2）∵△EDF为等腰三角形
∴∠DEP=∠DFG，
∵BP=BE，
∴∠BEF=∠BPE，
∵∠BPE=∠DPG，
∴∠BEF=∠BPE，
∴∠BEP和∠CGF同位角，
∴∠BEP=∠CGF，
∴∠BEP和∠CGF，
∠CGF=∠DGE，
∴∠BEP=∠DGE，
∴∠EPD=∠DGF，
∴∠EDP=∠GDF，
∴∠BEP=∠DGE，
∴△EDP≌△FDG，
∴EP=FG．