如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=22，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．

Question

如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．

（1）求证：CP=AQ；
（2）若BP=1，PQ=2√(2)，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠E=∠F，
∵BE=DF，
∴AE=CF，
在△CFP和△AEQ中，

∠C=∠A

CF=AE

∠F=∠E

，
∴△CFP≌△AEQ（ASA），
∴CP=AQ；
（2） ∵AD∥BC，
∴∠PBE=∠A=90°，
∵∠AEF=45°，
∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，
∴BE=BP=1，AQ=AE，
∴PE=√(2)BP=√(2)，
∴EQ=PE+PQ=√(2)+2√(2)=3√(2)，
∴AQ=AE=3，
∴AB=AE-BE=2，
∵CP=AQ，AD=BC，
∴DQ=BP=1，
∴AD=AQ+DQ=3+1=4，
∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．