如图，Rt△ADE≌Rt△BEC，∠A=∠B=90°，使A、E、B在同一直线上，连结CD．（1）求证：∠1=∠2=45°（2）若AD=3，AB=7，请求出△ECD的面积．（3）若P为CD的中点，连结PA、PB．试判断△APB的形状，并

Question

如图，Rt△ADE≌Rt△BEC，∠A=∠B=90°，使A、E、B在  同一直线上，连结CD．

（1）求证：∠1=∠2=45°
（2）若AD=3，AB=7，请求出△ECD的面积．
（3）若P为CD的中点，连结PA、PB．试判断△APB的形状，并证明之．

Answer 1

（1）∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3=∠4，DE=EC，AD=BE，AE=BC，∠AED=∠BCE．
∴∠1=∠2．
∵∠DAE=∠ABC=90°，
∴∠3+∠AED=90°，
∴∠4+∠AED=90°，
∴∠DEC=90°，
∴∠1=∠2=45°；
（2）∵AD=3，AB=7，
∴AE=4．
在Rt△AED中，由勾股定理，得
DE=5，
∴EC=5，
∴S_△CED=(5×5)/(2)=12.5；
（3）△APB为等腰直角三角形，
连结PE，
∵P是CD的中点，
∴PD=PC=(1)/(2)CD．
∵ED=EC，∠DEC=90°，
∴∠5=(1)/(2)∠DEC，∠EPD=90°，PE=(1)/(2)CD．
∴∠5=45°．PE=PD．
∴∠5=∠1．
∴∠5+∠4=∠1+∠3，
∴∠PEB=∠PDA．
在△BEP和△ADP中，

BE＝AD

∠PEB＝∠PDA

PE＝PD

，
∴△BEP≌△ADP（SAS），
∴PA=PB，∠APD=∠BPE．
∵∠APD+∠APE=90°，
∴∠BPE+∠APE=90°，
∴∠APB=90°．
∵PA=PB，
∴△APB为等腰直角三角形．