如图，AB切O于点B，AD交O于点C和点D，点E为DC的中点，连接OE交CD于点F，连接BE交CD于点G．（1）求证：AB=AG；（2）若DG=DE，求证：GB2=GC•GA；（3）在（2）的条件下，若tanD=34，EG=10，求O的半径

Question

如图，AB切 O于点B，AD交 O于点C和点D，点E为

DC

的中点，连接OE交CD于点F，连接BE交CD于点G．

（1）求证：AB=AG；
（2）若DG=DE，求证：GB²=GC•GA；
（3）在（2）的条件下，若tanD=(3)/(4)，EG=√(10)，求 O的半径．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OB．
∵AB为 O切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABG+∠OBG=90°，
∵点E为

DC

的中点，
∴OE⊥CD，
∴∠OEG+∠FGE=90°，
又∵OB=OE，
∴∠OBG=∠OEG，
∴∠ABG=∠FGE，
∵∠BGA=∠FGE，
∴∠ABG=∠BGA，
∴AB=AG；
（2）证明：连接BC，
∵DG=DE，
∴∠DGE=∠DEG，
由（1）得∠ABG=∠BGA，
又∵∠BGA=∠DGE，
∴∠A=∠D，
∵∠GBC=∠D，
∴∠GBC=∠A，
∵∠BGC=∠AGB，
∴△GBC∽△GAB，
∴(GB)/(AB)=(GC)/(GB)，
∴GB²=GC•GA；
（3）连接OD，在Rt△DEF中，tanD=(EF)/(DF)=(3)/(4)，
∴设EF=3x，则DF=4x，由勾股定理得DE=5x，
∵DG=DE，
∴DG=5x，
∴GF=DG-DF=x．
在Rt△EFG中，由勾股定理得GF²+EF²=EG²，
即（3x）²+x²=（√(10)）²，解得x=1，
设 O半径为r，在Rt△ODF中，OD=r，OF=r-3x=r-3，DF=4x=4，
由勾股定理得：OF²+FD²=OD²，即（r-3）²+（4）²=r²，
解得r=(25)/(6)，
∴ O的半径为(25)/(6)．