在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∠MCN=45°（1）当点M、N在AB上时，求证：MN2=AM2+BN2；（2）将∠MCN绕点C旋转，当点M在BA的延长线上时，若不成立，请说明理由．

Question

在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∠MCN=45°

（1）当点M、N在AB上时，求证：MN²=AM²+BN²；
（2）将∠MCN绕点C旋转，当点M在BA的延长线上时，若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：如图，

过点A作AF⊥AB，使AF=BN，连接DF，CF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠FAC=45°，
∴△CAF≌△CBN（SAS），
∴CF=CN，
∠ACF=∠BCN，
∵∠ACB=90°，∠DCN=45°，
∴∠ACM+∠BCN=∠ACB-∠MCN=90°-45°=45°，
∵∠ACF=∠BCN，
∴∠ACM+∠ACF=45°，
即∠MCF=45°，
∴∠MCF=∠MCN，
又∵CM=CM，
∴△CMF≌△CMN（SAS），
∴MF=MN，
∵AM²+AF²=MF²，
∴AM²+BM²=MN²；

（2）结论仍然成立；如图，

证明：过点A作AF⊥AB，使AF=BN，连接MF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠FAC=45°，
∴△CAF≌△CBN（SAS），
∴CF=CN，
∠ACF=∠BCN，
∵∠BCN+∠ACN=90°，
∴∠ACF+∠ACN=90°，即∠FCN=90°，
∵∠MCN=45°，
∴∠MCF=45°，
∴∠MCF=∠MCN，
又∵CM=CM，
∴△CMF≌△CMN（SAS），
∴MF=MN，
∵AM²+AF²=MF²，
∴AM²+BN²=MN²．