在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B、C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k>1），EF∥BC．（1）求∠D的度数；（2）若两三角形重叠部分的形

Question

在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B、C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k>1），EF∥BC．
（1）求∠D的度数；
（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH．
①如图1，连接GH、AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；
②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求k的值．

Answer 1

（1）∵AB²+AC²=100=BC²，
∴∠BAC=90°，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠D=∠BAC=90°，
（2）①四边形AGDH为正方形，
理由：如图1，

延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠E=∠EMC，
∴∠B=∠EMC，
∴AB∥DE，
同理：DF∥AC，
∴四边形AGDH为平行四边形，
∵∠D=90°，
∴四边形AGDH为矩形，
∵GH⊥AD，
∴四边形AGDH为正方形；
②当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，
理由：如图2，

点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M，
∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH，
∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，
只有点D在BC边上时，面积才有可能最大，
如图3，

点D在BC上，
∵DG∥AC，
∴△BGD∽△BAC，
∴(BG)/(AB)=(GD)/(AC)，
∴(AB-AG)/(AB)=(AH)/(AC)，
∴(6-AG)/(6)=(AH)/(8)，
∴AH=8-(4)/(3)GA，
S_矩形AGDH=AG×AH=AG×（8-(4)/(3)AG）=-(4)/(3)AG²+8AG，
当AG=-(8)/(2×(-4)/(3))=3时，S_矩形AGDH最大，此时，DG=AH=4，
即：当AG=3，AH=4时，S_矩形AGDH最大，
在Rt△BGD中，BD=5，
∴DC=BC-BD=5，
即：点D为BC的中点，
∵AD=(1)/(2)BC=5，
∴PA=AD=5，
延长PA，∵EF∥BC，QP⊥EF，
∴QP⊥BC，
∴PQ是EF，BC之间的距离，
∴D是EF的距离为PQ的长，
在△ABC中，(1)/(2)AB×AC=(1)/(2)BC×AQ
∴AQ=4.8
∵△DEF∽△ABC，
∴k=(PQ)/(AQ)=(PA+AQ)/(AQ)=(49)/(24)．