B矩阵的每一个列向量都是Ax=0的解,则AB=0若|B|不等于0则A=0.为什么?

Question

B矩阵的每一个列向量都是Ax=0的解,则AB=0若|B|不等于0则A=0.为什么?

Answer 1

问题1：
如果B=[b1 b2 b3 ... bn]的每一列(bi都代表列向量)都是A的解,也就是说A*bi=0.
那么对任意i=1,2,...,n来说,那根据矩阵相乘时候的规则,前面的行乘以后面的列,就有A*B=A*[b1 b2 b3 ... bn]=[A*b1 A*b2 A*b3 ... A*bn]=[0 0 ... 0]也就是A*B=0.
问题2：
已知A*B=0,则两边取转置,B转置*A转置=0.
注意到B取了行列式的值,那他应该是个方阵,假设他是n*n的,那B的行列式值不为0,等价于rand(B转置)=rand(B)=n,也就是B转置是满秩矩阵.
那对于B转置*x=0这个求解x的时候,由系数矩阵B转置满秩,可以知道x有且只有唯一解0向量,那B转置*A转置=B转置*[a1 a2 ... am]=[B转置*a1 B转置*a2 ... B转置*am]=[0 0 ...0],也就是说A转置是0矩阵,所以A也是0矩阵.