用拉格朗日乘数法,求中心在原点的椭圆x^2-4xy+5y^2=1的长半轴和短半轴

Question

用拉格朗日乘数法,求中心在原点的椭圆x^2-4xy+5y^2=1的长半轴和短半轴

Answer 1

目标函数是
F(x,y) = x^2+y^2
限制条件是这个椭圆方程G(x,y)=x^2-4xy+5y^2-1=0
令L(x,y) = F(x,y)-k*G(x,y)
所以有 dL/dx=0 and dL/dy=0 (这里应该用偏导符号),以及已知方程G(x,y)=0.
解出满足这三个方程的所有的(x,y).再将解出的(x,y) （应该有至少两组）代回F(x,y),最大的F(x,y)是长半轴,最小的（正）F(x,y)是短半轴