(2x)^x-2和a(x-1)+b(x-1)^2在x趋近于1时是等价无穷小量,求a、b

Question

(2x)^x-2和a(x-1)+b(x-1)^2在x趋近于1时是等价无穷小量,求a、b

Answer 1

设Y=x-1趋于零
上式变为[2(y+1)]^(y+1)-2~Ay+By^2
左边[2(y+1)]^(y+1)-2={[2(y+1)^y-1+1}x2(y+1)-2 （因为当x趋于零时a^x-1~xlna）
=[yln(2y+2)+1]x2(y+1)-2
=[2ln(2y+2)+2]xy+2ln(2y+2)y^2=右边=
所以A=2ln2+2
B为任意值（因为y^2在y趋于零时为y的高阶无穷小故其系数不予考虑）