已知，点B、C是双曲线y=4x在第一象限分支上的两点，点A在x轴正半轴上，△AOB为等腰直角三角形，∠B=90°，AC垂直于x轴．（1）求点C的坐标；（2）点D为x轴上一点，当△BCD为等腰三角形时，

Question

已知，点B、C是双曲线y=(4)/(x)在第一象限分支上的两点，点A在x轴正半轴上，△AOB为等腰直角三角形，∠B=90°，AC垂直于x轴．

（1）求点C的坐标；
（2）点D为x轴上一点，当△BCD为等腰三角形时，求点D的坐标．

Answer 1

（1）过点B作BH⊥OA于点H，
∵△AOB是等腰直角三角形，∠B=90°，
∴BH=OH=(1)/(2)OA．
∵点B在第一象限，
∴设B（a，a）（a>0）．
∵点B在双曲线y=(4)/(x)上，
∴a²=4，
∴a=2或a=-2（不合题意，舍去），
∴B（2，2），
∴A（4，0）．
∵AC⊥x轴，
∴设C（4，y），
∵点C在双曲线y=(4)/(x)上，
∴C（4，1）；

（2）∵设D（x，0），
∴BC²=5，BD²=x²-4x+8，CD²=x²-8x+17，
当△BCD是等腰直角三角形时，BC=BD，BC=CD或BD=CD．
当BC=BD，即BC²=BD²时，x²-4x+8=5，解得x=1或x=3，
∴D（1，0）或（3，0）；
当BC=CD，即BC²=CD²时，x²-8x+17=5，解得x=2或x=6，
当D（6，0）时，BC=CD=√(5)，BD=2√(5)，
∴BC+CD=BD，不能构成三角形，
∴x=6不合题意，
∴D（2，0）；
当BD=CD，即BD²=CD²，x²-4x+8=x²-8x+17，解得x=(9)/(4)，
∴D（(9)/(4)，0）．
综上所述，D（1，0），（3，0），（2，0），（(9)/(4)，0）．