初二几何四边形——等腰三角形在等腰梯形ABCD中,AD平行BC,AB=DC,P为底边BC上一点,PE垂直AB,PE垂直CD,BG垂直CD（1）求证：PE+PF=BG（2）若P在BC的延长线上,则（1）中的结论是否成立?若成立给出证明,

Question

初二几何四边形——等腰三角形
在等腰梯形ABCD中,AD平行BC,AB=DC,P为底边BC上一点,PE垂直AB,PE垂直CD,BG垂直CD
（1）求证：PE+PF=BG
（2）若P在BC的延长线上,则（1）中的结论是否成立?若成立给出证明,不成立请说明PE、PF、BG的关系并证明
（3）若P在BC的反向延长线上,则PE、PF、BG之间的关系是怎样的

Answer 1

⑴过P点作BD的垂线,垂足为H点,则四边形PFGH是矩形,∴PF=HG,考察△直角BEP与直角△PHB,∠HPB=∠C=∠EBP,BP=PB,∴△BEP≌△PHB,∴PE=BH,∴PE+PF=BG.⑵P在BC的延长线上,作图：过C点作AB的垂线,垂足为G′,易证明BG=CG′,过C点作PE的垂线,垂足为H点,则四边形CHEG′是矩形,∴EH=G′C,∵G′C∥EP,∴∠BCG′=∠BPE,又BG∥PF,∴∠FPC=∠CBG而易证明∠GBC=∠G′CB,∴∠HPC=∠FPC,∴易证明直角△HPC≌直角△FPC,∴PF=PH,∴结论是：PE=PF＋BG.⑶同理可证：PF=PE＋BG