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（2014•鹤城区二模）已知数列{an}满足a1=2，向量a=（2，-1），b=（an+2n，an+1）且a⊥b．（Ⅰ）求证数列{an2n}为等差数列，并求{an}通项公式；（Ⅱ）设bn=ann(n+1)2，若对任意n∈N*都有bn＞m2−3m9成
题目详情
（2014•鹤城区二模）已知数列{an}满足a1=2，向量
=（2，-1），
=（an+2n，an+1）且
⊥
．
（Ⅰ）求证数列{
}为等差数列，并求{an}通项公式；
（Ⅱ）设bn=
，若对任意n∈N*都有bn＞
成立，求实数m的取值范围．
| a |
| b |
| a |
| b |
（Ⅰ）求证数列{
| an |
| 2n |
（Ⅱ）设bn=
| an |
| n(n+1)2 |
| m2−3m |
| 9 |
▼优质解答
答案和解析
（Ⅰ）证明：因为
=（2，-1），
=（an+2n，an+1）且
⊥
，
所以2(an+2n)−an+1＝0…2 分
即an+1＝2an+2n+1，∴
＝
+1…4 分
所以数列{
}为等差数列，…5 分
且
＝
+(n−1)×1＝n，
∴an＝n×2n…6 分
（Ⅱ）依题意可知bn＝
，令
＝2•[
| a |
| b |
| a |
| b |
所以2(an+2n)−an+1＝0…2 分
即an+1＝2an+2n+1，∴
| an+1 |
| 2n+1 |
| an |
| 2n |
所以数列{
| an |
| 2n |
且
| an |
| 2n |
| a1 |
| 2 |
∴an＝n×2n…6 分
（Ⅱ）依题意可知bn＝
| 2n |
| (n+1)2 |
| bn+1 |
| bn |
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