（2013•南沙区一模）将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上．在OA边上选取适当的点E，连接CE，将△EOC沿CE折叠．（1）如图①，当点O落在

Question

（2013•南沙区一模）将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上．在OA边上选取适当的点E，连接CE，将△EOC沿CE折叠．

（1）如图①，当点O落在AB边上的点D处时，点E的坐标为______；
（2）如图②，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EG∥x轴交CD于点H，交BC于点G．求证：EH=CH；
（3）在（2）的条件下，设H（m，n），写出m与n之间的关系式

m＝(1)/(20)n2+5

m＝(1)/(20)n2+5

；
（4）如图③，将矩形OABC变为正方形，OC=10，当点E为AO中点时，点O落在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT的长度．

Answer 1

（1）∵将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，点O落在AB边上的点D处，
∴OC=DC=10，
∵BC=8，
∴BD=√(102−82)=6，
∴AD=10-6=4，
设AE=x，则EO=8-x，
∴x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴AE=3，
则EO=8-3=5，
∴点E的坐标为：（0，5）； 

（2）证明：（如图②）由题意可知∠1=∠2．
∵EG∥x轴，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴EH=CH．

（3）过点H作HW⊥OC于点W，
∵在（2）的条件下，设H（m，n），
∴EH=HC=m，WC=10-m，HW=n，
∴HW²+WC²=HC²，
∴n²+（10-m）²=m²，
∴m与n之间的关系式为：m＝(1)/(20)n2+5；

（4）（如图③）连接ET，
由题意可知，ED=EO，ED⊥TC，DC=OC=10，
∵E是AO中点，∴AE=EO．
∴AE=ED．
∵在Rt△ATE和Rt△DTE中，

TE＝TE

AE＝ED

∴Rt△ATE≌Rt△DTE（HL）．
∴AT=DT．
设AT=x，则BT=10-x，TC=10+x，
在Rt△BTC中，BT²+BC²=TC²，
即（10-x）²+10²=（10+x）²，
解得 x=2.5，
即AT=2.5．
故答案为：（0，5）；m＝(1)/(20)n2+5．