己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）若⊙O的半径为5

Question

己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．

（1）求证：∠DAC=∠DBA；
（2）求证：P是线段AF的中点；
（3）若⊙O的半径为5，AF=(15)/(2)，求tan∠ABF的值．

Answer 1

（1）证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA；
（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，
即：P是AF的中点；
（3）∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA=90°，
∴△FDA∽△ADB，
∴(AD)/(DB)=(AF)/(BA)，
由题意可知圆的半径为5，
∴AB=10，
∴(AD)/(BD)=(AF)/(BA)=((15)/(2))/(10)=(3)/(4)，
∴在Rt△ABD中，tan∠ABD=(AD)/(BD)=(3)/(4)，
即：tan∠ABF=(3)/(4)．