已知函数f（x）=x3-3x及y=f（x）上一点P（1，-2），过点P作直线l．（1）求使直线l和y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；（2）求使直线l和y=f（x）相切且切点异于P的直线方程．

Question

已知函数f（x）=x³-3x及y=f（x）上一点P（1，-2），过点P作直线l．
（1）求使直线l和y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；
（2）求使直线l和y=f（x）相切且切点异于P的直线方程．

Answer 1

（1）由f（x）=x³-3x得，f′（x）=3x²-3，
过点P且以P（1，-2）为切点的直线的斜率f′（1）=0，
∴所求直线方程为y=-2．
（2）设过P（1，-2）的直线l与y=f（x）切于另一点（x₀，y₀），
则f′（x₀）=3x₀²-3．
又直线过（x₀，y₀），P（1，-2），
故其斜率可表示为(y0−(−2))/(x0−1)=(x03−3x0+2)/(x0−1)，
又(x03−3x0+2)/(x0−1)=3x₀²-3，
即x₀³-3x₀+2=3（x₀²-1）•（x₀-1），
解得x₀=1（舍）或x₀=-(1)/(2)，
故所求直线的斜率为k=3×（(1)/(4)-1）=-(9)/(4)，
∴y-（-2）=-(9)/(4)（x-1），
即9x+4y-1=0．