已知定义在R上的函数f(x)＝b−2x2x+a是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t-2t2）+f（-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围

Question

已知定义在R上的函数f(x)＝(b−2x)/(2x+a)是奇函数
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝(b−1)/(a+1)＝0，
解得b=1，（1分）
∴f(x)＝(1−2x)/(a+2x)，
∴f(−x)＝(1−2−x)/(a+2−x)＝(2x−1)/(a•2x+1)＝−f(x)＝(2x−1)/(a+2x)
∴a•2^x+1=a+2^x，即a（2^x-1）=2^x-1对一切实数x都成立，
∴a=1，
故a=b=1．（3分）
（2）∵a=b=1，
∴f(x)＝(1−2x)/(1+2x)＝(2)/(1+2x)−1，
f（x）在R上是减函数．（4分）
证明：设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
则f(x1)−f(x2)＝(2)/(1+2x1)−(2)/(1+2x2)
=-(2(2x1−2x2))/((1+2x1)(1+2x2))，
∵x₁＜x₂，
∴2x2＞2x1，1+2x1＞0，1+2x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是减函数，（8分）
（3）∵不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0，
∴f（t-2t²）＞-f（-k），
∴f（t-2t²）＞f（k），
∵f（x）是R上的减函数，
∴t-2t²＜k（10分）
∴k＞t−2t2＝−2(t−(1)/(4))2+(1)/(8)对t∈R恒成立，
∴k＞(1)/(8)．（12分）