齐次线性方程组AX=0,系数矩阵A为n阶矩阵,秩为n-1,求证：全部解为c=(Ai1,Ai2...Ain)^T其中Aij为元素aij的代数余子式,至少有一个Aij不等于0,c为任意常数

Question

齐次线性方程组AX=0,系数矩阵A为n阶矩阵,秩为n-1,求证：全部解为c=(Ai1,Ai2...Ain)^T
其中Aij为元素aij的代数余子式,至少有一个Aij不等于0,c为任意常数

Answer 1

证:因为 r(A) = n-1
所以齐次线性方程组AX=0 的基础解系含 n-r(A)=1 个解向量.
所以AX=0的任一个非零解都是它的基础解系.
因为 AA*=|A|E=0.
所以 A* 的列向量都是 AX=0 的解.
再由已知A中某元素代数余子式不等于0,不妨设 Aij≠0.
则 (Ai1,Ai2,...,Aij,...,Ain)^T 是AX=0的非零解向量
故 (Ai1,Ai2,.,Ain)^T 是AX=0的一个基础解系.
所以 方程组的全部解为 c(Ai1,Ai2,.,Ain)^T