设函数u（x，y）有连续偏导数，试用极坐标与直角坐标的转化公式x=rcosθ，y=rsinθ，将x∂u∂y-y∂u∂x变换为r，θ下的表达式．

Question

设函数u（x，y）有连续偏导数，试用极坐标与直角坐标的转化公式x=rcosθ，y=rsinθ，将x(∂ u)/(∂ y)-y(∂ u)/(∂ x)变换为r，θ下的表达式．

Answer 1

设u=u（x，y），由于x=rcosθ，y=rsinθ，其中r＝√(x2+y2)，θ＝arctan(y)/(x)（当（x，y）在第一、四象限时）
∴(∂r)/(∂x)＝(x)/(r)＝cosθ，(∂θ)/(∂x)＝−(y)/(r2)＝−(sinθ)/(r)
(∂r)/(∂y)＝(y)/(r)＝sinθ，(∂θ)/(∂y)＝(x)/(r2)＝(cosθ)/(r)
∴(∂u)/(∂x)＝(∂u)/(∂r)(∂r)/(∂x)+(∂u)/(∂θ)(∂θ)/(∂x)＝(∂u)/(∂r)cosθ−(∂u)/(∂θ)(sinθ)/(r)
(∂u)/(∂y)＝(∂u)/(∂r)(∂r)/(∂y)+(∂u)/(∂θ)(∂θ)/(∂y)＝(∂u)/(∂r)sinθ+(∂u)/(∂θ)(cosθ)/(r)
∴x(∂ u)/(∂ y)-y(∂ u)/(∂ x)
=(∂u)/(∂r)rcos2θ−(∂u)/(∂θ)sinθcosθ-(∂u)/(∂r)rsin2θ−

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