有一只青蛙位于一条东西向的直线上,每次可以选择向东跳也可以向西跳.青蛙第一次跳1的平方厘米,第二次跳2的平方厘米.第19次跳19的平方厘米.假入都跳完19次后,青蛙必须达到距原位置东方20

Question

有一只青蛙位于一条东西向的直线上,每次可以选择向东跳也可以向西跳.青蛙第一次跳1的平方厘米,第二次跳2的平方厘米.第19次跳19的平方厘米.假入都跳完19次后,青蛙必须达到距原位置东方2008厘米处.假设青蛙完成此任务的方案中最后一跳的距离为n的平方厘米,请问所有可能中n最小值是多少?
有一只青蛙位于一条东西向的直线上，每次可以选择向东跳也可以向西跳。青蛙第一次跳1的平方厘米，第二次跳2的平方厘米......第19次跳19的平方厘米。假入都跳完19次后，青蛙必须达到距原位置东方2008厘米处。假设青蛙完成此任务的方案中最后一跳向西的距离为n的平方厘米，请问所有可能中n最小值是多少？

Answer 1

假设跳了n步.将往西方向跳的距离之和记为S,则S为一些完全平方数之和.
那么依题意有：1^2+2^2+3^2+…+n^2-2S=2008
即有：n(n+1)(2n+1)/6=2008+2S
至此,可以尝试一下：
n≤17时,上式左边≤17×18×35/6＝1785,而右边≥2008,因此不可能
n=18时,上式左边＝18×19×37/6＝2109,而右边是偶数,因此不可能
n=19时,上式左边＝19×20×39/6＝2470,于是可求得S＝231.现在要考察S是否能写成几个完全平方数之和：易知231＝196＋25＋9＋1＝14^2＋5^2＋3^2＋1^2.可见,只跳19步,第1步、第3步、第5步以及第14步都向西跳,其余步均向东跳,即可满足要求.
故最小n为19