有11个点,标号0~10,一个青蛙站在1,任意点往左跳概率为n/10（n为该点坐标）,右跳概率为1-n/10,倘若跳到0死掉,跳到10会吃到跳出版图,问活着跳出版图的概率为多少

Question

有11个点,标号0~10,一个青蛙站在1,任意点往左跳概率为n/10（n为该点坐标）,右跳概率为1-n/10,倘若跳到0死掉,跳到10会吃到跳出版图,问活着跳出版图的概率为多少

Answer 1

0 1 2……10 每点都有个概率f(n)
f(0)=0 f(10)=1 设f(1)=t 由对称性 f(9)=1-t f(5)=1/2
对内部的点,可先跳一次,得关系式
f(n)=f(n-1) n/10 +f(n+1) （1-n/10）
写作10f(n)=nf(n-1) +(10-n)f(n+1)
写作n(f(n)-f(n-1))=(10-n)(f(n+1)-f(n))
豁然开朗.记g(n)=f(n)-f(n-1) (n=1,2……10)
g(n+1)=ng(n)/(10-n)
g(1)=t
g(2)=1/9 g(1)
g(3)=2/8 g(2)
g(4)=3/7 g(3)
g(5)=4/6 g(4)
另一方面.0+g(1)+g(2)+……+g(5)=f(5)=1/2
就是说 t(1+1/9+1*2/(9*8)+1*2*3/(9*8*7)+1*2*3*4/(9*8*7*6))=1/2
这就算出t了.
对一般的情形,t有没有更简单的表示式呢?注意到系数是c(i,n)倒数的连加.
我不知道.
我试了一下,这类式子的一般解,确实能找到比较好的递推公式
h（n+1）=h(n)+(2^(n+1))/n+2
h是与系数序列T（n）相关的适当的函数（数列）.
但这就很难继续化简了