如图所示，将某正粒子放射源置于原点O，其向各方向射出的粒子速度大小均为v0、质量均为m、电荷量均为q．在0≤y≤d的一、二象限范围内分布着一个匀强电场，方向与y轴正向相同，在d<y

Question

如图所示，将某正粒子放射源置于原点O，其向各方向射出的粒子速度大小均为v₀、质量均为m、电荷量均为q．在0≤y≤d的一、二象限范围内分布着一个匀强电场，方向与y轴正向相同，在d<y≤2d的一、二象限范围内分布着一个匀强磁场，方向垂直于xoy平面向里．粒子离开电场上边缘y=d时，能够到达的最右侧的位置为（1.5d，d）．最终恰没有粒子从y=2d的边界离开磁场．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计粒子重力以及粒子间的相互作用，求：

（1）电场强度E；
（2）磁感应强度B；
（3）粒子在磁场中运动的最长时间．

Answer 1

（1）沿x轴正方向发射的粒子有：x=1.5d，y=d，
由类平抛运动基本规律得：x=v₀t，
y=(1)/(2)at2，
而a=(qE)/(m)，
联立可得：E=(8mv20)/(9qd)
（2）沿x轴正方向发射的粒子射入磁场时有：1.5d=v₀t，
d=(vy)/(2)t，
联立可得：vy=(4)/(3)v0，
v=√(v2x+v2y)=(5)/(3)v0，方向与水平成53°，斜向右上方，
据题意知该粒子轨迹恰与上边缘相切，则其余粒子均达不到y=2d边界，由几何关系可知：
d=R+(3)/(5)R，
根据牛顿第二定律得：Bqv=m(v2)/(R)
解得：R=(mv)/(qB)
联立可得：B=(8mv0)/(3qd)
（3）粒子运动的最长时间对应最大的圆心角，经过（1.5d，d）恰与上边界相切的粒子轨迹对应的圆心角最大，由几何关系可知圆心角为：θ=254°，
粒子运动周期为：T=(2πm)/(qB)=(3πd)/(4v0)，
则时间为：t=(θ)/(360°)T=(127πd)/(240v0)．
答：（1）电场强度E为(8mv20)/(9qd)；
（2）磁感应强度B为(8mv0)/(3qd)；
（3）粒子在磁场中运动的最长时间为(127πd)/(240v0)．