已知:在等腰三角形ABC中,BB'CC'分别是两腰的中线,且BB'垂直于CC',用向量方法求角A的大小

Question

已知:在等腰三角形ABC中,BB'CC'分别是两腰的中线,且BB'垂直于CC',用向量方法求角A的大小

Answer 1

等腰三角形,即：|AB|=|AC|=k
BB'=(BA+BC)/2,CC'=(CA+CB)/2=(CA-BC)/2
故：BB'·CC'=(1/4)(BA+BC)·(CA-BC)
=(1/4)(BA·CA-BA·BC+BC·CA-|BC|^2)
=(1/4)(AB·AC-BC·(BA-CA)-|BC|^2)
=(1/4)(AB·AC-2|BC|^2)=0
故：AB·AC=2|BC|^2
即：AB·AC=2|AC-AB|^2=2(k^2+k^2-2AB·AC)
即：5AB·AC=4k^2
即：5k^2cosA=4k^2
即：cosA=4/5
即：A=arccos(4/5)