假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为λ＞0的指数分布．当三个元件都无故障工作时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作．试求

Question

假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为λ＞0的指数分布．当三个元件都无故障工作时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作．试求电路正常工作的时间T的概率分布．

Answer 1

以X_i（i=1，2，3）表示第i个电气元件无故障工作的时间，
则X₁，X₂，X₃相互独立且同分布，服从参数为λ＞0的指数分布．
所以其分布函数为F(x)＝

1−e−λx，x＞0

0，x≤0.

依题意，电路正常工作的时间：T=min（X₁，X₂，X₃）．
①当t≤0时，T的分布函数G_T（t）=P{T≤t}=0；
②当t＞0时，
G_T（t）=P{T≤t}=1-P{T＞t}=1-P{min（X₁，X₂，X₃）＞t}=1-P{X₁＞t，X₂＞t，X₃＞t}，
因为X₁，X₂，X₃相互独立，所以：
G_T（t）=1-P{X₁＞t}•P{X₂＞t}•P{X₃＞t}．
由分布函数的定义，F（x）=P（X≤x），
所以P（X＞x）=1-F（x），
从而：GT(t)＝1−[1−F(t)]3＝1−e−3λt．
综上分析计算，可得T的分布函数为：GT(t)＝

1−e−3λt，t＞0.

0，t≤0.

，
即电路正常工作的时间T服从参数为3λ的指数分布．