已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连接AF、CF．求证：（1）∠ADF=∠BCF；（2）AF⊥CF．

Question

已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连接AF、CF．
求证：（1）∠ADF=∠BCF；（2）AF⊥CF．

Answer 1

证明：（1）在矩形ABCD中，
∵AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
∵F为DE中点，
∴DF=CF，
∴∠FDC=∠DCF，
∴∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF，
即∠ADF=∠BCF；
（2）连接BF，
∵BE=BD，F为DE的中点，
∴BF⊥DE，
∴∠BFD=90°，即∠BFA+∠AFD=90°，
在△AFD和△BFC中

AD＝BC

∠ADF＝∠BCF

CF＝DF

，
∴△ADF≌△BCF，
∴∠AFD=∠BFC，
∵∠AFD+∠BFA=90°，
∴∠BFC+∠BFA=90°，
即∠AFC=90°，
∴AF⊥FC．