求下列函数的值域1.y=(2x^2+4x-7)/(x^2+2x+3）2.y=sinx/(2-cosx)3.y=2x-√(1-x)4.y=(x^2+5)/√(x^2+4)

Question

求下列函数的值域
1.y=(2x^2+4x-7)/(x^2+2x+3）
2.y=sinx/(2-cosx)
3.y=2x-√(1-x)
4.y=(x^2+5)/√(x^2+4)

Answer 1

1.
分离常数
2x^2+4x-7=2(x^2+2x+3)-13
y=2(x^2+2x+3)/(x^2+2x+3)-13/(x^2+2x+3)=2-13/(x^2+2x+3)
13/(x^2+2x+3)恒不为0,所以值域为{y|y≠2}
2.
两边同乘(2-cosx),且分母(2-cosx)≠0,得到y(2-cosx)=sinx,sinx+ycosx=2y
将(y^2+1)提出,得到[√(y^2+1)]sin(x+α)=2y
sin(x+α)=(2y)/[√(y^2+1)]
因为-1≤sin(x+α)≤1,所以-10,所以1/t>0,因此可以利用均值不等式
t+(1/t)≥2√[t·(1/t)]=2
所以值域为[2,+∞)