如图，在正方形ABCD中，AD=8，点E是边CD上（不包括端点）的动点，AE的中垂线FG分别交AD，AE，BC于点F，H，K交AB的延长线于点G．（1）设DE=m，FHHK＝t，用含m的代数式表示t；（2）当t＝13时，求BG

Question

如图，在正方形ABCD中，AD=8，点E是边CD上（不包括端点）的动点，AE的中垂线FG分别交AD，AE，BC于点F，H，K交AB的延长线于点G．
（1）设DE=m，(FH)/(HK)＝t，用含m的代数式表示t；
（2）当t＝(1)/(3)时，求BG的长．

Answer 1

（1）过点H作MN∥CD交AD，BC于M，N，则四边形ABNM是矩形，
∴MN=AB=AD，
∵FG是AE的中垂线，
∴H为AE的中点，
∴MH=(1)/(2)DE=(1)/(2)m，HN=8-(1)/(2)m，
∵AM∥BC，
∴FH：HK=HM：HN=（(1)/(2)m）：（8-(1)/(2)m），
∴t=(m)/(16−m)．
（2）过点H作HT⊥AB于T，
当t=(1)/(3)时，(m)/(16−m)=(1)/(3)，解得m=4，即DE=4，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE²=AD²+DE²=80，
∴AE=4√(5)，
∴AH=(1)/(2)AE=2√(5)，
∵AF∥HT∥BK，
∴AT：BT=FH：HK=t=(1)/(3)，
∵AB=8，
∴AT=2，BT=6．
在直角△AHG中，HT⊥AG，
∴△AHT∽△HGT，
∴TH：TG=AT：HT，
∴TG=HT²：AT．
在直角△AHT中，HT²=AH²-AT²=16，
∴HT=4，
∴TG=4²÷2=8，
∴BG=TG-BT=8-6=2．