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边长5,7,8的三角形的最小角和最大角的内角和是?
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边长5,7,8的三角形的最小角和最大角的内角和是?
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答案和解析
8所对的角最大.设三角形ABC,a=5,b=7,c=8
由余弦定理：cosC=（7²+5²-8²）/2×7×5=10/70=1/7,sinC=4√3/7
5所对的角最小.cosA=（7²+8²-5²）/2×7×8=88/112=11/14.,sinA=5√3/14.
cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC
=（11/14）×（1/7）-（5√3/14）（4√3/7）
=（11/98）-(60/98)
=-49/98
=-1/2
∴cos(A+C)=120°
解法二：由7对应是中间大的角,
∴cosB=（5²+8²-7²）/2×5×8=40/80=1/2,
∴∠B=60°,∠A+∠C=120°
由余弦定理：cosC=（7²+5²-8²）/2×7×5=10/70=1/7,sinC=4√3/7
5所对的角最小.cosA=（7²+8²-5²）/2×7×8=88/112=11/14.,sinA=5√3/14.
cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC
=（11/14）×（1/7）-（5√3/14）（4√3/7）
=（11/98）-(60/98)
=-49/98
=-1/2
∴cos(A+C)=120°
解法二：由7对应是中间大的角,
∴cosB=（5²+8²-7²）/2×5×8=40/80=1/2,
∴∠B=60°,∠A+∠C=120°
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