求解一道微分方程,y''+y=x+3sin2x+2cosx主要是特解的求法,最好能给出待定系数法和微分算子法~因为这种形式的f（x）的特解不太会求啊,我知道把方程分别看成：左边=x左边=3sin2x左边=2cosx然后分

Question

求解一道微分方程,
y''+y=x+3sin2x+2cosx
主要是特解的求法,最好能给出待定系数法和微分算子法~
因为这种形式的f（x）的特解不太会求啊,
我知道把方程分别看成：
左边=x
左边=3sin2x
左边=2cosx
然后分别求出三个方程的特解相加
可是，书上介绍的微分算子法我总是记不住代换，也搞不大清楚，但是如果分别用特解形式求导带入（待定系数法）的话，有时候会化的非常复杂，有没有稍简便实用的方法呢？
无限感激！

Answer 1

首先,齐次方程y''＋y＝0的特征方程是r^2＋1＝0,得r＝±i,所以通解是y＝C1×sinx＋C2×cosx.
其次,求非齐次方程的一个特
很显然,y''＋y＝x有一个特解Y1＝x.
2i不是特征方程的根,所以y''＋y＝3sin2x的一个特解设为Y2＝k×sin2x,代入得k＝－1,所以Y2＝－sin2x
i是特征方程的单根,所以设y''＋y＝2cosx的一个特解为Y3＝x[asinx＋bcosx],代入得a＝1,b＝0,所以Y3＝xsinx
所以,非齐次方程的一个特解Y＝Y1＋Y2＋Y3＝x－sin2x＋xsinx,通解是y＝x－sin2x＋xsinx＋C1×sinx＋C2×cosx.