y=1+sinπxy=｛1,x为有理数｝0,x为无理数y=x-x求周期,详解,

Question

y=1+sinπx y=｛1,x为有理数｝ 0,x为无理数 y=x-【x】 求周期,详解,

Answer 1

y=1+sin πx 的最小正周期是
T=2π /π =2.
= = = = = = = = =
设 f(x)=1,x为有理数,
=0,x为无理数.
i)设 p为任意有理数.
a)当x为有理数时,x+p为有理数.
所以 f(x+p)=1=f(x),
b)当 x为无理数时,x+p为无理数.
所以 f(x+p)=0=f(x).
综上,p是f(x)的周期.
ii)设 q为任意无理数.
当x为有理数时,x+q为无理数.
所以 f(x)=1,f(x+q)=0,
所以 f(x+q)不等于f(x),
即 q不是f(x)的周期.
综上,由p,q的任意性知,
f(x)的周期是任意有理数,无最小正周期.
= = = = = = = = =
(3) 设 f(x)=x-[x].
i) 因为 f(x+1)=(x+1)-[x+1]
=x+1-([x]+1)
=x-[x]
=f(x).
所以 1是f(x)的周期.
ii) 任取p属于(0,1),则
1-p属于(0,1).
所以 f(1-p)=(1-p)-[1-p]
=1-p-0
=1-p.
而 f(1-p+p)=f(1)
=1-[1]
=1-1
=0,
所以 f(1-p+p)不等于f(1-p).
所以 p不是f(x)的周期.
综上,f(x)的最小正周期为1.