有1-10号共10个不一样的箱子,每个箱子里放一把钥匙,1-10号钥匙对应能开1-10号的箱子,一开始撬开了2个箱子,问最终能把所有箱子全部打开的概率是多少呢?

Question

有1-10号共10个不一样的箱子,每个箱子里放一把钥匙,1-10号钥匙对应能开1-10号的箱子,一开始撬开了2个箱子,问最终能把所有箱子全部打开的概率是多少呢?

Answer 1

开始撬开了2个箱子后有三种情况：
A,这开着的两个箱子里的钥匙就是开这两箱子的,这种情况不能打开,不用考虑；
B,这开着的两个箱子里的钥匙都不是开这两箱子的,这样就是开余下8个箱子的,这样能开的概率为P8；
C,这开着的两个箱子里的钥匙有一把是开这两箱子的,这样的情况有4种,能开的概率是4*8!/10!；
综上：
P10＝4*8!/10!+P8
推一下上式有：
P8＝4*6!/8!+P6
P6＝4*4!/6!+P4
P4＝4*2!/4!+P2
只有两个箱子时都是撬开的,所以P2＝0
以上的式子相加得：
P10＝4*8!/10!+4*6!/8!+4*4!/6!+4*2!/4!
＝2/45+1/14+2/15+1/3
＝367/630