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空间四边形互相垂直的边最多有几对
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空间四边形互相垂直的边最多有几对
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答案和解析
三对.
做线段AB,线段BC垂直于AB,作线段CD垂直于平面ABC,
则四边形ABCD中三条边AB,BC,CA互相垂直.
也就是说有三对互相垂直.
设四边形为ABCD.
若有4对(或更多)的互相垂直的边,
那么,每条边都会垂直于另外的某条边(否则凑不到4对).
这4对边里,有两种情况：
1.有某条边,垂直于其他三条边.
这时,四个顶点共面,矛盾.
2.对每条边,都恰有两条边与之垂直.
不失一般性,设AB与BC,CD垂直,但不与DA垂直.
那么,AB垂直于平面BCD.
因DA不与AB垂直,那么它必然与BC,CD都垂直,因此也垂直于平面BCD.
所以AB与DA共线,矛盾.
因此最多有三对边互相垂直.
做线段AB,线段BC垂直于AB,作线段CD垂直于平面ABC,
则四边形ABCD中三条边AB,BC,CA互相垂直.
也就是说有三对互相垂直.
设四边形为ABCD.
若有4对(或更多)的互相垂直的边,
那么,每条边都会垂直于另外的某条边(否则凑不到4对).
这4对边里,有两种情况：
1.有某条边,垂直于其他三条边.
这时,四个顶点共面,矛盾.
2.对每条边,都恰有两条边与之垂直.
不失一般性,设AB与BC,CD垂直,但不与DA垂直.
那么,AB垂直于平面BCD.
因DA不与AB垂直,那么它必然与BC,CD都垂直,因此也垂直于平面BCD.
所以AB与DA共线,矛盾.
因此最多有三对边互相垂直.
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