设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示．为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度．已知返回舱返回过程中

Question

设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示．为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度．已知返回舱返回过程中需克服火星的引力做功W=mgR（1-(R)/(r)），返回舱与人的总质量为m，火星表面的重力加速度为g，火星的半径为R，轨道舱到火星中心的距离为r，不计火星表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响，则该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱？
（思考：若要考虑火星的自转影响，且已知火星自转角速度为ω，则结果又是多少？）

Answer 1

返回舱与人在火星表面附近有：G(mM)/(R2)=mg
设轨道舱的质量为m₀，速度大小为v，则：
G(Mm0)/(r2)=m₀(v2)/(r)
解得宇航员乘坐返回舱与轨道舱对接时，具有的动能为
E_k=(1)/(2)mv²=(mgR2)/(2r)
因为返回舱返回过程克服引力做功W=mgR（1-(R)/(r)）
所以返回舱返回时至少需要能量E=E_k+W=mgR（1-(R)/(2r)）
答：该宇航员乘坐的返回舱，不考虑火星自转时，至少需要获得能量为E=mgR(1−(R)/(2r))，考虑火星自转时，至少需要获得能量为E′=mgR(1−(R)/(2r))−(1)/(2)mR2ω2．