问题情境徐老师给爱好学习的小敏和小捷提出这样一个问题：如图1，△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AB+BD=AC小敏的证明思路是：在AC上截取AE=AB，连接DE．（如图2）…小捷的

Question

【问题情境】
徐老师给爱好学习的小敏和小捷提出这样一个问题：
如图1，△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AB+BD=AC
小敏的证明思路是：在AC上截取AE=AB，连接DE．（如图2）…
小捷的证明思路是：延长CB至点E，使BE=AB，连接AE． 可以证得：AE=DE（如图3）…
请你任意选择一种思路继续完成下一步的证明．
【变式探究】
“AD是∠BAC的平分线”改成“AD是BC边上的高”，其它条件不变．（如图4），AB+BD=AC成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出你的正确结论，并说明理由．
【迁移拓展】
△ABC中，∠B=2∠C． 求证：AC²=AB²+AB•BC． （如图5）

Answer 1

【问题情境】小敏的证明思路是：如图2，在AC上截取AE=AB，连接DE．（如图2）
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠EAD．
在△ABD和△AED中，

AB=AE

∠BAD=∠EAD

AD=AD

，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴BD=DE，∠ABD=∠AED    
∵∠AED=∠EDC+∠C，∠B=2∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
  即AB+BD=AC；
小捷的证明思路是：如图3，延长CB至点E，使BE=AB，连接AE．
∴∠E=∠BAE．
∵∠ABC=∠E+∠BAE，
∴∠ABC=2∠E．
∵∠ABC=2∠C，
∴∠E=∠C，
∴△AEC是等腰三角形．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC．
∵∠ADE=∠DAC+∠C，∠DAE=∠BAD+∠BAE 
∴∠ADE=∠DAE，
∴EA=ED=AC，
∴AB+BD=AC；
【变式探究】
AB+BD=AC不成立   正确结论：AB+BD=CD…（5分）
理由：如图4，在CD上截取DE=DB，连结AE，
∵AD⊥BC，
∴AD是BE的中垂线，
∴AE=AB，
∴∠B=∠AED．
∵∠AED=∠C+∠CAE，且∠B=2∠C，
∴∠C=∠CAE，
∴AE=EC．
即AB+BD=CD；
【迁移拓展】
证明：如图5，过点A作AD⊥BC于D．由勾股定理得：AB²=BD²+AD²，AC²=CD²+AD²，
∴AC²-AB²=CD²-BD²=（CD+BD）（CD-BD）=BC（CD-BD）
∵AB+BD=CD，
∴CD-BD=AB，
∴AC²-AB²=BC（CD-BD）=BC•AB，
即AC²=AB²+AB•BC．