数学分析：证明不存在由R^2到[0,1]上的连续双射

Question

数学分析：证明不存在由R^2到[0,1]上的连续双射

Answer 1

用反证法,假设存在连续双射f:R² → [0,1].
由f是满射,则存在(a,b),(c,d) ∈ R²使f(a,b) = 0,f(c,d) = 1.
不难构造连续映射g,h:[0,1] → R²,使g(0) = h(0) = (a,b),g(1) = h(1) = (c,d),
且对任意x,y ∈ (0,1),有g(x) ≠ h(y).
(实际上就是取两条(a,b)到(c,d)的连续曲线,并使二者在端点以外不相交).
可知复合映射fg,fh:[0,1] → [0,1]也连续,并满足fg(0) = fh(0) = 0,fg(1)=fh(1) = 1.
由介值定理,存在s,t ∈ (0,1)使fg(s) = 1/2 = fh(t).
但由f是单射,有g(s) = h(t),与g,h的选取矛盾.
因此不存在连续双射f:R² → [0,1].