如图所示，从地球发射火箭到火星去进行探测，发射后火箭绕太阳椭圆轨道运行，为了节省能源，火箭离开地球的速度方向与地球绕太阳公转的速度方向一致，并且选择适当的发射时机，使

Question

如图所示，从地球发射火箭到火星去进行探测，发射后火箭绕太阳椭圆轨道运行，为了节省能源，火箭离开地球的速度方向与地球绕太阳公转的速度方向一致，并且选择适当的发射时机，使火箭椭圆轨道的远日点为火星，轨道近日点为地球，假定地球和火星均绕太阳做匀速圆周运动，圆轨道半径分别为r与R，地球绕太阳公转周期为T₀，忽略其他行星对火箭的作用，求：
（1）火箭应以多大的对地速度离开地球？
（2）火箭到达火星要用多长时间？

Answer 1

（1）设太阳、火箭质量分别为M、m，火箭在近日点和远日点的速度分别为v₁，v₂．
由机械能守恒和开普勒定律
知(1)/(2)m

v

2 1

−G(Mm)/(r)＝(1)/(2)m

v

2 2

−G(Mm)/(R)
rv₁=Rv₂，
由此二式得v1＝√((2GMR)/(r(r+R)))，
这是火箭在离开地球时对日速度，而v地＝√((GM)/(r))，
则火箭相对地球的速度v＝v1−v地＝√((GM)/(r))(√((2R)/(R+r))−1)
（2）而到达火星的时间是火箭运动半个周期T，
T=√(((R+r)/(2r))3)T0，
故t=(1)/(2)

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