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求视频:著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X的同侧,AB=50km,A著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X的
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求视频:著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X的同侧,AB=50km,A
著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X的同侧,AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客,小民设计了两种方案,图①是方案一的示意图(AP与直线X垂直,垂足为P),点P与A、B的距离之和s1=PA+PB,图②是方案二的示决图(点A关于直线X的对称点是点A’,连接BA’交直线X于点P),点P到A、B的距离之和s2=PA+PB
⑴求s1、s2并比较它们的大小,
⑵请你说明S2=PA+PB的值最小
著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X的同侧,AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客,小民设计了两种方案,图①是方案一的示意图(AP与直线X垂直,垂足为P),点P与A、B的距离之和s1=PA+PB,图②是方案二的示决图(点A关于直线X的对称点是点A’,连接BA’交直线X于点P),点P到A、B的距离之和s2=PA+PB
⑴求s1、s2并比较它们的大小,
⑵请你说明S2=PA+PB的值最小
▼优质解答
答案和解析
(1)图(1)中过B作BC⊥X于C,垂足为C;AD⊥BC于D,垂足为D,
则BC=40,又AP=10,
∴BD=BC-CD=40-10=30.
在△ABD中,AD=
502-302
=40,(1分)
在Rt△PBC中,
∴BP=
CP2+BC2
=40
2
,
S1=40
2
+10.(2分)
图(2)中,过B作BC⊥AA′垂足为C,则A′C=50,
又BC=40,
∴BA'=
402+502
=10
41
,
由轴对称知:PA=PA',
∴S2=BA'=10
41
,(3分)
∴S1>S2.(4分)
(2)如图(2),在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA',由轴对称知MA=MA',
∴MB+MA=MB+MA'>A'B,
∴S2=BA'为最小.(7分)
(3)过A作关于X轴的对称点A',过B作关于Y轴的对称点B',
连接A'B',交X轴于点P,交Y轴于点Q,则P,Q即为所求.(8分)
过A'、B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,
B′G=40+10=50,A′G,30+30+40=100,
A'B'=
1002+502
=50
5
,
∴AB+AP+BQ+QP=AB+A′P+PQ+B′Q=50+50
5
,
∴所求四边形的周长为50+50
5
.(10分)
则BC=40,又AP=10,
∴BD=BC-CD=40-10=30.
在△ABD中,AD=
502-302
=40,(1分)
在Rt△PBC中,
∴BP=
CP2+BC2
=40
2
,
S1=40
2
+10.(2分)
图(2)中,过B作BC⊥AA′垂足为C,则A′C=50,
又BC=40,
∴BA'=
402+502
=10
41
,
由轴对称知:PA=PA',
∴S2=BA'=10
41
,(3分)
∴S1>S2.(4分)
(2)如图(2),在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA',由轴对称知MA=MA',
∴MB+MA=MB+MA'>A'B,
∴S2=BA'为最小.(7分)
(3)过A作关于X轴的对称点A',过B作关于Y轴的对称点B',
连接A'B',交X轴于点P,交Y轴于点Q,则P,Q即为所求.(8分)
过A'、B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,
B′G=40+10=50,A′G,30+30+40=100,
A'B'=
1002+502
=50
5
,
∴AB+AP+BQ+QP=AB+A′P+PQ+B′Q=50+50
5
,
∴所求四边形的周长为50+50
5
.(10分)
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