冯.奥伯定理求这两条线段相等且垂直任意一个四边形,以每个边为边长,画四个正方形,然后,取这四个正方形中心点,连接相对的中心,求证,这两条线既垂直又相等.

Question

冯.奥伯定理 求这两条线段相等且垂直
任意一个四边形,以每个边为边长,画四个正方形,然后,取这四个正方形中心点,连接相对的中心,求证,这两条线既垂直又相等.

Answer 1

1.已知一个任意四边形ABCD
2.以它的每条边AB,BC,CD,DA为边长向外作四个正方形S1 S2 S3 S4
3.取每个正方形的对角线交点E,F,G,H
4.连接上下两个交点E,G和左右两个交点F,H,EG和FH交与点J
证明:EG=FH且EG垂直于FH.
证明基本思想就是将FH旋转90度得到F'H',只要证明F'E‖GH'且相等,就可以得到F'EGH'是平行四边形,原题就能得到证明了.
四边形ABCD绕A点旋转90度,得新的四边形A'B'C'D',新四边形A'与A点重合,边A'B'与S1的一边重合
边B'C',D'A'外作四个正方形S'2 ,S'4
四个正方形S'2 ,S'4 的对角线交点F'、H',连接F'H',
因为FH绕A点旋转90度得到F'H',所以FH⊥F'H',且FH=F'H'
连接EF'、GH',得四边形F'EGH'
连接B'F'、B'E,连接DG、DH'
连接AC,DH'=DA*二分之根号二 ,DG=CD*二分之根号二
所以DH'/DG=DA/CD
∠ADH'=∠CDG=45度,所以∠ADC=∠H'DG
所以△DGH'与△DCA等比,所以GH'=AC*二分之根号二,且GH'与AC成45度角
B'E=AB*二分之根号二 ,B'F'=BC*二分之根号二
所以B'E/AB=B'F'/BC=二分之根号二
又∠C'B'F'=∠EB'A'=45度,所以∠EB'F'=∠A'B'C'=∠ABC (A'与A点重合)
所以△EB'F'与△ABC等比,所以EF'=AC*二分之根号二,且EF'与AC成-135度角(角度的负值是相对与GH'与AC成的角)
所以 GH'=EF',且GH'与EF'成的角度是45-（-135）=180度,就是GH'‖EF'
所以四边形F'EGH'是平行四边形
所以GE=F'H',GE‖F'H',又F'H'=FH且F'H'⊥FH
得到结论：GE=FH,GE⊥FH