如何证明冯奥贝尔定理?

Question

如何证明冯奥贝尔定理?

Answer 1

Von.Aubel定理:以任意四边形ABCD的边为斜边作四个转向相同的等腰直角三角形ΔABE,ΔBCF,ΔCDG,ΔDAH.则:EG=FH,EG⊥FH.
关于上述定理的几点说明:
(1),条件是任意四边形,所以不一定是凸四边形;
(2),作四个转向相同的等腰直角三角形,所以可以同时向四边形形外或四边形形内,作等腰直角三角形.
(3),当四边形退化为三角形时,结论也成立.即A与D,H重合,求证:EG=AF,EG⊥AF.
下面给出详细的证明.
证明 先给出一个引理,
引理:以任意三角形ABC的边AB,BC为斜边作两个转向相同的等腰直角三角形ΔABE,ΔBCF,O点是AC的中点,则EO=FO,EO⊥FO.
简证如下:以F点为中心,对△BEF按逆时针旋转90°,则B→C,设E→D.
显然有 DC=BE,且DC⊥BE,又BE=AE,BE⊥AE,所以 DC∥AE,DC=AE.
从而DE与AC互相平分,即AC的中点O亦为DE的中点.
因为DE是等腰直角△DEF的斜边,故△EOF为等腰直角三角形.
因此EO⊥FO 且EO=FO.
证明 连AC,取AC的中点O,连EO,FO,GO,HO.EG,FH的交点为Q.
根据上述引理知:EO=FO,EO⊥FO,GO=HO,GO⊥HO,
而∠EOG=90°+∠EOH=∠FOH.所以△EOG≌△FOH,
于是得:EG=FH,∠GEO=∠HFO,
因此得E,F,O,Q四点共圆,即得:∠EOF=90°=∠EQF.
故EG⊥FH.证毕.
实际上述命题[即Von.Aubel定理] 有更简单的证法.即由旋转变换之积的定理证,一步到位,很简洁.