薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等．如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为n1和n2，则透镜两侧各有一个焦点（设为F1和F2），但F1、F2和透镜中心的距离不相等

Question

薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等．如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为n₁和n₂，则透镜两侧各有一个焦点（设为F₁和F₂），但F₁、F₂和透镜中心的距离不相等，其值分别为f₁和f₂．现有一个薄凸透镜L，已知此凸透镜对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如图所示．

（1）试求出此时物距u，像距v，焦距f₁、f₂四者之间的关系式．
（2）若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为θ₁，则与之相应的出射线与主轴的夹角θ₂多大？
（3）f₁，f₂，n₁，n₂四者之间有何关系？

Answer 1

利用焦点的性质，用作图法可求得小物PQ的像P′Q′，如图所示．

（1）用y和y′分别表示物和像的大小，则由图中的几何关系可得
   (y)/(y′)=(u−f1)/(f1)=(f2)/(v−f2) ①
则得：（u-f₁）（v-f₂）=f₁f₂；
简化后即得物像距公式，即u，v，f₁，f₂之间的关系式：
   (f1)/(u)+(f2)/(v)=1  ②
（2）薄透镜中心附近可视为薄平行板，入射光线经过两次折射后射出，放大后的光路如图2所示．图中θ₁为入射角，θ₂为与之相应的出射角，γ为平行板中的光线与法线的夹角．设透镜的折射率为n，则由折射定律得

   n₁sinθ₁=nsinγ=n₂sinθ₂  ③
对傍轴光线，θ₁、θ₂都很小，得sinθ₁≈θ₁，sinθ₂≈θ₂，因而得：
  θ₂=(n1)/(n2)θ₁   ④
（3）由物点Q射向中心O的入射线，经L折射后，出射线应射向Q′，如下图所示．

在傍轴的条件下，有
  (y)/(u)=tanθ₁≈θ₁，(y′)/(v)=tanθ₂≈θ₂，⑤
二式相除并利用④式，得
  (y′u)/(yv)=(n1)/(n2)  ⑥
用①式的(y′)/(y)=(f1)/(u−f1)代入⑥式，得：
  (f1u)/((u−f1)v)=(n1)/(n2)
即  f₁=(n1uv)/(n2u+n1v)  ⑦
用①式的(y′)/(y)=(v−f2)/(f2)代入⑥式，得：
   ((v−f2)u)/(f2v)=(n1)/(n2)
即   f₂=(n2uv)/(n2u+n1v)  ⑧
从而得f₁，f₂，n₁，n₂之间关系式
  (f1)/(f2)=(n2)/(n1)  ⑨
答：
（1）此时物距u，像距v，焦距f₁、f₂四者之间的关系式为(f1)/(u)+(f2)/(v)=1．
（2）与之相应的出射线与主轴的夹角θ₂为(n1)/(n2)θ₁．
（3）f₁，f₂，n₁，n₂四者之间的关系为(f1)/(f2)=(n2)/(n1)．