设A0,A1,…,An-1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点,考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形,如四边形A3A4A5A6、七边形An-2An-1A0A1A2A3A4等,如果所有这样的凸多边形的面积之和是231,那么n的最大

Question

设A0,A1,…,An-1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点,考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形,如四边形A3A4A5A6、七边形An-2An-1A0A1A2A3A4等,如果所有这样的凸多边形的面积之和是231,那么n的最大值是——,此时正n边形的面积是——

Answer 1

设A0,A1,…,An-1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点,考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形,如四边形A3A4A5A6、七边形An-2An-1A0A1A2A3A4等,如果所有这样的凸多边形的面积之和是231,那么n的最大值是 23此时正n边形的面积是1
先通过找规律找出P与n的关系式 P=
12
n2-
32
n+1,再化为P=
12
（n-
32
）2+
18
,由于n≥3,故P值越大,n取值越大． 在凸多边形面积之和为231时,由于正n边形的面积为整数,故其面积取最小值1时,P值最大,从而得出关于n的方程求解即可．
用找规律找出P与n的关系式
不难发现,P与n有下表所列的关系
n 3 4 5 6 P 1
（0+1）=（3-3）×3÷2+1 3
（2+1）=（4-3）×4÷2+1 6
（5+1）=（5-3）×5÷2+1 10
（6+3+1）=（6-3）×6÷2+1 因此,P=（n-3）•n÷2+1,即P=12n2-32n+1．
P=12n2-32n+1可以化为P=12（n-32）2+18,
由于n≥3,故P值越大,n取值越大．
在凸多边形面积之和为231时,由于正n边形的面积为整数,
故其面积取最小值1时,P值最大
代入各值,得：231÷1=12n2-32n+1,
整理得：n2-3n-460=0
解得n=23或n=-20（不合题意,舍去）
故n=23为最大值,此时正23边形的面积为1．
故答案为：23,1．