南海上有一浮桶式波浪发电灯塔，其原理示意如图甲。浮桶内的磁体通过支柱固定在暗礁上，浮桶内置线圈随周期T=3s的波浪相对磁体沿竖直方向运动，且始终处于磁场中，该

Question

南海上有一浮桶式波浪发电灯塔，其原理示意如图甲。浮桶内的磁体通过支柱固定在暗礁上，浮桶内置线圈随周期 T =3s 的波浪相对磁体沿竖直方向运动，且始终处于磁场中，该线圈与阻值 R =15Ω 的灯泡相连。如图乙所示，浮桶下部由内、外两密封圆筒构成，其截面积 S =0.2m ² （图乙中斜线阴影部分），其内为产生磁场的磁体，与浮桶内侧面的缝隙忽略不计；匝数 N =200 的线圈所在处辐向磁场的磁感应强度 B =0.2T ，线圈直径 D =0.4m ，电阻 r =1Ω 。取重力加速度 g =10m/s ² ， 。

（ 1 ）若浮桶随波浪上下运动可视为受迫振动，浮桶振动的速度可表示为 。写出波浪发电产生电动势 e 的瞬时表达式；画出电流 i 随时间 t 变化的图象；

（ 2 ）已知浮力 ， ，当浮桶及线圈的总质量为多大时，波浪机械能转化为电能的效率最高？（提示：忽略水的阻力，当电路断开时，浮桶及线圈可视作简谐运动，其周期 ，式中 m 为振子质量， k 为回复力常数。）

Answer 1

（ 1 ）线圈在磁场中切割磁感线，产生电动势，

  （或 ）                                             ①

                                                                    ②

                                                              ③

                                              ④

根据闭合电路欧姆定律

                                                                   ⑤

                                                     ⑥

i-t 图象如图：                                                              ⑦

 

（ 2 ）根据题意，设浮桶及线圈的总质量为 M ，在水面平衡时，排开水的体积为 V ₀ ，

                                                                                          ⑧

简谐运动时，设浮桶及线圈相对平衡位置的位移是 x ，

                                   ⑨

   考虑到

                                                                 

                                                          

   综合 ⑨、 、 得

   浮桶与线圈作简谐运动的固有周期

                                                            

                                                          

   波浪机械能转化为电能的效率最高时，有

                                                                                                 

解得： M = 450kg                                                       

                                                            

评分标准：（ 1 ） 12 分； ①式 3 分，②、③、④、⑤、⑥各 1 分，⑦式 4 分； （ 2 ） 10 分； ⑧、⑨式各 2 分， 、 、 、 、 、 式各 1 分。