设计一个帐篷.它的下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥.问当帐篷的上...设计一个帐篷.它的下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥

Question

设计一个帐篷.它的下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥.问当帐篷的上...
设计一个帐篷.它的下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥.
问当帐篷的上顶点O到下底面中心O'的距离为多少时,帐篷的体积最大?

Answer 1

设OO’为x,
则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）32+(x-1)2=8+2x-x2
于是底面正六边形的面积为（单位：m2）32+(x-1)2=6•34•(8+2x-x2)2=332(8+2x-x2)
帐篷的体积为（单位：m3）V(x)=332(8+2x-x2)[13(x-1)+1]=32(16+12x-x3)
求导数,得V′(x)=32(12-3x2)
令V'（x）=0解得x=-2（不合题意,舍去）,x=2．
当1＜x＜2时,V'（x）＞0,V（x）为增函数；
当2＜x＜4时,V'（x）＜0,V（x）为减函数．
所以当x=2时,V（x）最大．
答当OO1为2m时,帐篷的体积最大．