新定义：若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请判断二次函数y=2（x+3）2-1与二次函数y=13x2+3x+2是否为“同簇二次函数”，并说明理

Question

新定义：若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请判断二次函数y=2（x+3）²-1与二次函数y=(1)/(3)x2+3x+2是否为“同簇二次函数”，并说明理由；
（2）已知关于x的二次函数y₁=2x²-4mx+2m²+1和y₂=ax²+bx+5，其中y₁的图象经过点A（1，1），若y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，求函数y₂的表达式．

Answer 1

（1）二次函数y=2（x+3）²-1的开口向上，顶点坐标为（-3，-1），
二次函数y=(1)/(3)x2+3x+2=(1)/(3)（x+(9)/(2)）-(19)/(4)的开口向上，顶点坐标为（-(9)/(2)，-(19)/(4)），
所以不是同簇二次函数；
（2）∵y₁的图象经过点A（1，1），
∴2×1²-4×m×1+2m²+1=1．
整理得：m²-2m+1=0．
解得：m₁=m₂=1．
∴y₁=2x²-4x+3
=2（x-1）²+1．
∴y₁+y₂=2x²-4x+3+ax²+bx+5
=（a+2）x²+（b-4）x+8
∵y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，
∴y₁+y₂=（a+2）（x-1）²+1
=（a+2）x²-2（a+2）x+（a+2）+1．
其中a+2>0，即a>-2．
∴

b-4=-2(a+2)

8=(a+2)+1

．
解得：

a=5

b=-10

．
∴函数y₂的表达式为：y₂=5x²-10x+5．
∴y₂=5x²-10x+5
=5（x-1）²．