如图，BD是正方形ABCD的对角线，BD的圆心是A，半径为AB，正方形ABCD以AB为轴旋转一周，求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比．

Question

如图，BD是正方形ABCD的对角线，

BD

的圆心是A，半径为AB，正方形ABCD以AB为轴旋转一周，求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比．

Answer 1

设正方形ABCD的边长为1，可得
图Ⅰ旋转所得旋转体为以AB为轴的圆锥体，高AB=1且底面半径r=1
∴该圆锥的体积为V₁=(1)/(3)π×AD²×AB=(1)/(3)π；
图II旋转所得旋转体，是以AB为半径的一个半球，减去图Ⅰ旋转所得圆锥体而形成，
∴该圆锥的体积为V₂=(1)/(2)×(4)/(3)π×AB²-V₁=(2)/(3)π-(1)/(3)π=(1)/(3)π；
图III旋转所得旋转体，是以AB为轴的圆柱体，减去图II旋转所得半球而形成，
∴该圆锥的体积为V₃=π×AD²×AB-V_半球=π-(2)/(3)π=(1)/(3)π
综上所述V₁=V₂=V₃=(1)/(3)π，
由此可得图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比为1：1：1．