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一个简单多面体的直观图和三视图如图所示,它的主视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形,俯视图为正方形,E是PD的中点.(Ⅰ)求证:PB∥平面ACE;(Ⅱ)求证:PC⊥BD;(Ⅲ

题目详情
一个简单多面体的直观图和三视图如图所示,它的主视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形,俯视图为正方形,E是PD的中点.
(Ⅰ)求证:PB ∥ 平面ACE;
(Ⅱ)求证:PC⊥BD;
(Ⅲ)求三棱锥C-PAB的体积.
▼优质解答
答案和解析
证明:(I)连接BD,BD∩AC=O,连接OE,
易知OE是△BPD的中位线,
∴BP ∥ OE,
OE⊂平面ACE,
∴PB ∥ 平面ACE.
(II)∵俯视图为正方形,
即ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥BD,
PA∩AC=A,BD⊥平面PAC.
PC⊂平面PAC.
∴PC⊥BD
(III)由已知正方形ABCD的边长为1,
PA=1,
V C-PAB =V P-ABC =
1
3
1
2
•1•1•1=
1
6

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