n条半径将圆分为n部分,用k种不同颜色对其各个区域染色,相邻的颜色不一样,有多少种方法不会别瞎扯.

Question

n条半径将圆分为n部分,用k种不同颜色对其各个区域染色,相邻的颜色不一样,有多少种方法
不会别瞎扯.

Answer 1

选定一个初始区域,该区域染色方法k种：
k*
将其记为第一块区域,将圆环展开成横排,并将第一块补在最后一块后面（假想的,不计入最后一块）.
不考虑假想块时：
k*(k-1)^(n-1)
其中,最后一块与假想块颜色相同的情况（需扣除）：
问题就是：（n-1）条半径将圆分为（n-1）部分,用k种不同颜色对其各个区域染色,相邻的颜色不一样,有多少种方法.
如此迭代循环,直到：
问题成为：2条半径将圆分为2部分,用k种不同颜色对其各个区域染色,相邻的颜色不一样,有多少种方法.
结束：
k*(k-1)^(n-1)-k*(k-1)^(n-2)+k*(k-1)^(n-3)-k*(k-1)^(n-4)+…(+/-)k*(k-1)^(1) (偶/奇）
是一个等比数列求和问题,解得：
若n为奇数,则有k*((k-1)^n-(k-1))/(k-1+1)=(k-1)^n-(k-1)种；
若n为偶数,则有k*((k-1)^n+(k-1))/(k-1+1)=(k-1)^n+(k-1)种.
若n=1,则有k种.