已知三阶矩阵A,B满足A^2-2AB=E,证明AB=BA,若B={(1,0,0)^T,(2,3,0)^T,(0,a,5)^T},求秩r(AB-2BA+3A)第一问AB=BA我自己会证明,只需老师帮我求出第二问就可以了

Question

已知三阶矩阵A,B满足A^2-2AB=E,证明AB=BA,若B={(1,0,0)^T,(2,3,0)^T,(0,a,5)^T},求秩r(AB-2BA+3A)
第一问AB=BA我自己会证明,只需老师帮我求出第二问就可以了

Answer 1

由A(A-2B) = E, A可逆.
因此r(AB-2BA+3A) = r(-A(B-3E)) = r(B-3E).
B-3E = [-2,2,0;0,0,a;0,0,2],
可经初等行变换化为[-2,2,0;0,0,2;0,0,0].
因此无论a取何值, 都有r(B-3E) = 2.